分维布朗运动

分维布朗运动

分维布朗运动（fractional Brownian motion，简称fBm），亦常译作分数布朗运动，其概念可追溯至Kolmogorov于1941年在Hilbert空间框架中的研究，Mandelbrot和Van Ness于1968年首次提出“分数布朗运动”这一名称。该过程是一个自相似、零均值、具有平稳增量的高斯过程，其方差为t(2H)，其中Hurst指数H是区间(0,1)内的参数，当H=1/2时即为经典布朗运动 。该模型以自相似结构和长程依赖性为特点，在金融资产收益率建模、地况地貌表面纹理简化模型描述、神经生物学、碳期权定价、无线信道研究、路面不平度重构及舰船辐射噪声建模等领域广泛应用 。

在理论发展中，Davydov于2012年证明d维分维布朗运动的凸包在任意时刻均包含原点作为内部点，该结论推广了Evans对标准布朗运动的研究成果 。相关研究亦涉及由分形布朗运动驱动的随机微分方程的数值解收敛性等问题 。金融领域，分维布朗运动用于描述股票价格的“尖峰厚尾”、自相似性和长期相关性，以改进Black-Scholes期权定价模型，并在此基础上发展了欧式外汇期权、碳期权及带跳多尺度情形下的期权定价模型 。多学科交叉应用中，分维布朗运动还被用于分析随机微分方程解的存在唯一性及数值解等问题 。

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